Becslési módszer a Pénztárak Garancia Alapja által fizetendő normafedezeti kiegészítésre

2000. április

Jelölések

Feltételezzük, hogy az érintett személy
–	január 1-jén született;
–	a magánnyugdíj-pénztári rendszer tagjává január 1-ével vált;
–	a magánnyugdíj-pénztári befizetéseit minden évben január 1-én, egész évre előre teljesíti,
–	a jogosító életkor betöltésekor öregségi nyugdíjba a születésnapján vonul.
Ezek a megszorítások a tag tb. nyugdíj jogait alig befolyásolják, a pénztári tőke felhalmozása szempontjából pedig kissé kedvezőbb eredményt adnak annál, mint amit e feltételezések nélkül kapnánk.

x				a tag életkorát jelölő változó
pkezd		 		a tag életkora, amikor a tb.-ben először biztosítottá vált
1988_kor			a tag életkora 1988-ban
pt_lépési_kor			a személy életkora, amikor a magánnyugdíj-pénztári rendszer tagjává vált
nydkor				a tag életkora a nyugdíjba vonulásakor
tdíj_alap(x)			a tag éves jövedelmének a magánnyugdíj-pénztári tagdíj alapjába beszámító része, amikor a tag x éves
tbnyd_alap(x)	a tag x éves korában kapott, éves jövedelméből az a rész, amelyet majd (a tag nyugdíjba vonulásakor) a tb. nyugdíj alap megállapításánál figyelembe kell venni
tdíj_kulcs(x)			a kötelezően fizetendő (kötelező mértékű) magánnyugdíj-pénztári tagdíj kulcsa a tag x éves korában
tdíj_fed_hányad(x)		a folyó tagdíjból a fedezeti tartalékba kerülő hányad a tag pénztárában a tag x éves korában
nethozam_bázisind(x) 	a tag x éves korában a fedezeti tartalékba helyezett tagdíjrész befektetési hozamból származó gyarapodásának aránya a tag x éves kora és nyugdíjba vonulása közötti idő alatt
tbnyd_valor_bázisind(x) 	az a szorzó, amellyel a tagnak az x éves korában keletkezett tb. nyugdíj alapját valorizálni kell a tb. öregségi nyugdíjának a megállapításakor
nyd_szorzó			az egy szolgálati évért megállapítható tb. öregségi nyugdíj aránya (a pénztártagok esetében 2012 után 1,22 %)
ker_idő	annak az időszaknak a hossza (évben számítva), amikor a tagnak a max(1988_kor, pkezd) és nydkor éves kora között a tb. nyugdíj alapba beszámítható jövedelme volt
szolg_idő	a tag által (pkezd és nydkor éves kora között) összegyűjtött tb. szolgálati idő, évben számolva
gar_hányad			a normajáradék és a tb. öregségi nyugdíj aránya
jért_tényező(nydkor)	a nyugdíjas időszakban kifizetett, egységnyi összegű éves járadék jelenértéke a tag nyugdíjba vonulásának az időpontjára számítva
o_br_ker(x)	a bruttó havi kereset országos átlagának 12-szerese abban az évben, amikor a tag x éves
A tag pénztári tőkéje a nyugdíjba vonulásakor

PT_TŐKE = x = pt_lépési_kor   nydkor – 1  [ tdíj_alap(x) tdíj_kulcs(x) tdíj_fed_hányad(x) nethozam_bázisind(x) ]

Ha   tdíj_kulcs(x)  tdíj_kulcs_max   és   tdíj_fed_hányad(x)  tdíj_fed_hányad_max   , akkor

PT_TŐKE = tdíj_kulcs_max tdíj_fed_hányad_max { x = pt_lépési_kor   nydkor – 1 [ tdíj_kulcs(x) / tdíj_kulcs_max 

  tdíj_fed_hányad(x) / tdíj_fed_hányad_max   tdíj_alap(x)   nethozam_bázisind(x)]}

Legyen rel_tdíj_alap(x)
= tdíj_alap(x) / o_br_ker(x)  ,
	ha  tdíj_kulcs(x) = tdíj_kulcs_max   és   tdíj_fed_hányad(x) = tdíj_fed_hányad_max ;
= [tdíj_kulcs(x) / tdíj_kulcs_max]   [tdíj_fed_hányad(x) / tdíj_fed_hányad_max]   tdíj_alap(x) / o_br_ker(x)  ,
ha  tdíj_kulcs(x) < tdíj_kulcs_max   vagy   tdíj_fed_hányad(x) < tdíj_fed_hányad_max

Így	PT_TŐKE = tdíj_kulcs_max   tdíj_fed_hányad_max   o_br_ker(nydkor – 1) 

  { x = pt_lépési_kor   nydkor – 1 [ rel_tdíj_alap(x)   o_br_ker(x) / o_br_ker(nydkor – 1)   nethozam_bázisind(x) ] } 

Most vezessük be a következő jelölést:
rel_nethozam_bázisind(x) = o_br_ker(x) / o_br_ker(nydkor – 1)   nethozam_bázisind(x)

Ezzel  PT_TŐKE = tdíj_kulcs_max   tdíj_fed_hányad_max   o_br_ker(nydkor – 1) 

  { x = pt_lépési_kor   nydkor – 1 [ rel_tdíj_alap(x) rel_nethozam_bázisind(x) ] }

A tagra vonatkozó normafedezet, ha a normajáradék a tag tb. öregségi nyugdíjához kapcsolódik
				
NORM_FED = gar_hányad  jért_tényező(nydkor)  szolg_idő  nyd_szorzó 

  { x = max(1988_kor, pkezd)   nydkor – 1 [ tbnyd_alap(x) tbnyd_valor_bázisind(x) ] } / ker_idő

Figyelembe véve, hogy a Tny 22. § (3) szerint, ha max(1988_kor; pkezd) < x < nydkor – 3, akkor

tbnyd_valor_bázisind(x) = o_br_ker(nydkor – 2) / o_br_ker(x) ;
és
	tbnyd_valor_bázisind(nydkor – 3) = tbnyd_valor_bázisind(nydkor – 2) = tbnyd_valor_bázisind(nydkor – 1) = 1 ;

valamint bevezetve a következő új jelölést:

rel_tbnyd_alap(x)  = tbnyd_alap(x) / o_br_ker(x)

adódik, hogy    NORM_FED = gar_hányad   jért_tényező(nydkor)   szolg_idő  nyd_szorzó 

 {[ x=max(1988_kor, pkezd)   nydkor–4 rel_tbnyd_alap(x)] o_br_ker(nydkor–2)+rel_tbnyd_alap(nydkor–3) o_br_ker(nydkor–3) +

 +   rel_tbnyd_alap(nydkor–2)   o_br_ker(nydkor–2)  +  rel_tbnyd_alap(nydkor–1)   o_br_ker(nydkor–1)}  /  ker_idő

Használjuk itt ki, hogy

 rel_tbnyd_alap(nydkor – 3)   o_br_ker(nydkor – 3)  +  rel_tbnyd_alap(nydkor – 1)   o_br_ker(nydkor – 1)  

  [ rel_tbnyd_alap(nydkor – 3)  +  rel_tbnyd_alap(nydkor – 1) ]   o_br_ker(nydkor – 2)

majd emeljük ki o_br_ker(nydkor–2)-t. Az átalakított kifejezés:

NORM_FED  gar_hányad   jért_tényező(nydkor)   szolg_idő   nyd_szorzó   o_br_ker(nydkor – 2)   

  { [ x = max(1988_kor, pkezd)   nydkor – 1  rel_tbnyd_alap(x) ] }  /  ker_idő

Most a {[x=max(1988_kor, pkezd)   nydkor–1 rel_tbnyd_alap(x)] / ker_idő}-t (ami a tag társadalombiztosítási nyugdíj alapjának az átlagos relatív színvonalát jelenti) fejezzük ki {[x=pt_lépési_kor  nydkor – 1 rel_tdíj_alap(x) ] / (nydkor – pt_lépési_kor)} (ez a tag pénztári tagdíj alapjának a magánnyugdíj-pénztári rendszerbe való belépésétől a nyugdíjba vonulásáig terjedő időszak egy évére számított, átlagos relatív színvonala) arányában:

x = max(1988_kor, pkezd)   nydkor – 1 rel_tbnyd_alap(x)
   =
                            ker_idő

	x = pt_lépési_kor   nydkor – 1 rel_tdíj_alap(x)
=  tbnydalap_/_tdíjalap_ ráta     
	       nydkor  – pt_lépési_kor
Ezek után

NORM_FED  gar_hányad jért_tényező(nydkor) szolg_idő nyd_szorzó o_br_ker(nydkor–2) 

     	x = pt_lépési_kor   nydkor – 1 rel_tdíj_alap(x)
  tbnydalap_/_tdíjalap_ ráta    
         nydkor – pt_lépési_kor

A tag nyugdíjba vonuláskori pénztári tőkéjének összehasonlítása a tagra vonatkozó normafedezettel

Nyilvánvaló, hogy a PT_TŐKÉ-nek a NORM_FED-re való kiegészítése akkor szükséges, ha (NORM_FED–PT_TŐKE)  >  0. A megfelelő összefüggéseket  NORM_FED-re,  PT_TŐKE-re beírva, majd o_br_ker(nydkor–1)-et, [x = pt_lépési_kor   nydkor – 1 rel_tdíj_alap(x)] / (nydkor – pt_lépési_kor)-t kiemelve, és bevezetve a következő jelölést:

                  rel_tdíj_alap(x)
  =  megoszlás(x)
x = pt_lépési_kor   nydkor – 1 rel_tdíj_alap(x)

(ahol megoszlás(x)  0  és [x = pt_lépési_kor   nydkor – 1 megoszlás(x)] = 1)

azt kapjuk, hogy

	x = pt_lépési_kor   nydkor – 1 rel_tdíj_alap(x)
NORM_FED  –  PT_TŐKE     o_br_ker(nydkor – 1)       
	       nydkor  – pt_lépési_kor

	o_br_ker(nydkor–2)
 { { gar_hányad jért_tényező(nydkor)szolg_idő nyd_szorzó tbnydalap_/_tdíjalap_ ráta  }}  /   }  –
	o_br_ker(nydkor–1)

 – { tdíj_kulcs_max tdíj_fed_hányad_max (nydkor– pt_lépési_kor)

	 [x=pt_lépési_kor   nydkor–1 megoszlás(x) rel_nethozam_bázisind(x)] } }

Ha  pt_lépési_kor  x < nydkor  MAX [ rel_nethozam_bázisind(x) [ 1 / (nydkor – x) ] ] = rel_nethozam_évi_átlag_max   és megoszlás(x) növekvő trendet követ, akkor bizonyítható, hogy
	
x = pt_lépési_kor   nydkor – 1 [ megoszlás(x) rel_nethozam_bázisind(x) ]  < 

		         1 – 1 / rel_nethozam_évi_átlag_max(nydkor – pt_lépési_kor) 	
< rel_nethozam_évi_átlag_max(nydkor – pt_lépési_kor)  {    +
		(nydkor – pt_lépési_kor) (1 – 1 / rel_nethozam_évi_átlag_max)

		[ln(rel_nethozam_évi_átlag_max)] 2 (nydkor – pt_lépési_kor) 3/2
	+     }  =
			                         3 5 1/2

=  rel_tőkenöv_max [ rel_nethozam_évi_átlag_max; (nydkor – pt_lépési_kor) ] / (nydkor – pt_lépési_kor)

Így

	x = pt_lépési_kor   nydkor – 1 rel_tdíj_alap(x)
NORM_FED  –  PT_TŐKE  >   o_br_ker(nydkor – 1)       
	       nydkor  – pt_lépési_kor

	o_br_ker(nydkor–2)
 { { gar_hányad jért_tényező(nydkor) szolg_idő nyd_szorzó tbnydalap_/_tdíjalap_ ráta  }}  /   }  –
	o_br_ker(nydkor–1)

 – {tdíj_kulcs_max tdíj_fed_hányad_max rel_tőkenöv_max [rel_nethozam_évi_átlag_max; (nydkor – pt_lépési_kor)]} }

A kapott képletben szereplő paraméterek, változók értékének korlátai

A.	A Tbj, a Tny és az Mpt törvények szerint tdíj_kulcs_max = 0,08  ;  nyd_szorzó = 0,0122  ;  gar_hányad = 0,25 .

B.	A magánnyugdíj-pénztárak jelenlegi gyakorlata alapján tdíj_fed_hányad_max < 0,95 .

C.	o_br_ker(nydkor – 2) / o_br_ker(nydkor – 1) < 1 / 1,1  . (2012 után, amikor Magyarország nemcsak az Európai Uniónak, hanem valószínűleg az Európai Pénzügyi Uniónak is tagja lesz, a tagsági követelményeknek megfelelő, alacsony infláció várható. Ilyen feltételek mellett az országos bruttó átlagkereset dinamikájára felírt, évi 10 %-os felső korlát indokolt.)

D.	szolg_idő    20  a Tny törvény értelmében. 

E. 	jért_tényező(nydkor) értéke becsülhető a következő módon 

	jért_tényező(nydkor) = { y = nydkor    [P( y) / t_kláb(y–nydkor)]} / (1 – kts_arány)  ,

ahol
		az emberi életkornak a járadékbiztosítási számításokban feltételezett felső határa
	P(y)	annak a valószínűsége, hogy egy nydkor életkorú személy az y éves korát megéri (y  nydkor)
	t_kláb	= 1					, ha y = nydkor
			= [tbnyd_emelés_aránya(y) + 0,015] / tbnyd_emelés_aránya(y) < 1,015  ; y > nydkor
	tbnyd_emelés_aránya(y)   a tagnak y éves korában járó tb. nyugdíj aránya az (y – 1) éves korában fizetetthez viszonyítva, ha y > nydkor
	kts_arány > 0,02	a tag járadékát terhelő pénztári költségek aránya

Ezekkel, valamint az 1996-1998 időszakra a KSH által publikált, az ország egész népességére jellemző túlélési valószínűségek átlagával számolva, valamint figyelembe véve, hogy
–		a magyar lakosság túlélési valószínűségei az 1990-es évek közepétől lassan, de folyamatosan javulnak;
–		a következő években, évtizedekben a gyógyító eljárások további, dinamikus fejlődése várható (világviszonylatban, de Magyarországon is);
–		a pénztártagokra (akik túlnyomó többségükben a foglalkoztatott, és így a közepesnél  egészségesebb személyek közül származnak) az országosnál átlagnál kedvezőbb túlélési esélyek a jellemzőek,
a 62 éves korban történő nyugdíjba vonulás esetére az adódik, hogy  jért_tényező(62)  > 15,3 .

F.	tbnydalap_/_tdíjalap_ ráta  1 , ha a magánnyugdíj-pénztári tag a társadalombiztosítási nyugdíj alapba beszámító jövedelemmel először csak a pénztári tagságának a kezdete után rendelkezett. 
	
	Indokok:
A tbnydalap_/_tdíjalap_ ráta a tag társadalombiztosítási nyugdíj alapja átlagos, relatív színvonalának az arányát fejezi ki a tag pénztári tagdíj alapjának az időegységre (a magánnyugdíj-pénztári rendszerbe való belépésétől a nyugdíjba vonulásáig terjedő időszak egy évére) számított, átlagos relatív színvonalához viszonyítva. Azt, hogy (az előbb említett személy esetében) az utóbbi nem nagyobb, mint az előbbi, két tényező is indokolja:
a)	A pénztári tagdíj alapjának a tagsági viszony egy évére számított, átlagos relatív színvonalát azok az időszakok csökkentik, amikor a tagnak nem kellett tagdíjat fizetnie (pl. táppénz idején), vagy csak mérsékelt összegű tagdíj fizetésére volt kötelezve (pl. munkanélküli járadék idején). A társadalombiztosítási nyugdíj alap esetében csak azokat az időszakokat kell átlagolni, amikor a tag ténylegesen tb. nyugdíj alapba beszámítható jövedelemmel rendelkezett.
b)	A rel_tdíj_alap(x) fentebb leírt definíciója szerint azokban az években, amikor tdíj_kulcs(x) < tdíj_kulcs_max , tdíj_alap helyett annak a [tdíj_kulcs(x) / tdíj_kulcs_max]-szorosával számolunk. Az 1998-2000 évek biztosan ilyenek: a szóban forgó arány ekkor (6 % / 8 %) = ¾.

Ha a tagnak a pénztárba való belépése előtt is volt a társadalombiztosítási nyugdíj alapba beszámító jövedelme, akkor tbnydalap_/_tdíjalap_ ráta   0,6 .
Indokok:
–	(nydkor –  pt_lépési kor)  15;
–	max(1988_kor; pkezd) és pt_lépési_kor között kevesebb, mint 12 év telhet el;
–	a minimálbérnek megfelelő összeget a tb. nyugdíj alapba beszámítható, időegységre jutó jövedelem alsó korlátjának indokolt tekinteni. 

G.	15    (nydkor  –  pt_lépési kor) az Mpt értelmében a normafedezeti kiegészítés feltétele.

H.	rel_nethozam_évi_átlag_max    1,03

Indok:

–	Gazdaságelméleti megfontolások szólnak amellett, hogy a tőke hozama hosszú távon csak kis mértékben haladhatja meg a munka hozamát (vagyis a reálbér indexet), és annak a valószínűsége, hogy az előbbi nagyobb az utóbbinál, annál kisebb, minél nagyobb a különbség.
			
I.	[ x = pt_lépési_kor   nydkor – 1 rel_tdíj_alap(x) ] / (nydkor – pt_lépési_kor)   2  a Tbj értelmében.

Ezek után térjünk vissza a normafedezeti kiegészítés feltételének a teljesülésére. 

Ha a B-F. és H. alatt leírt korlátok közül a NORM_FED-ben megjelenő tényezőkre az alsót, a PT_TŐKE-ben szereplőkre pedig a felsőt alkalmazzuk, akkor ez írható fel

	x = pt_lépési_kor   nydkor – 1 rel_tdíj_alap(x)
NORM_FED  –  PT_TŐKE     o_br_ker(nydkor – 1)       
	         (nydkor  – pt_lépési_kor)

 {{0,25 15,3 20 0,0122 0,6 / 1,1}  –  { 0,08 0,95 rel_tőkenöv_max[1,03; (nydkor – pt_lépési_kor)] }} > 0
          
Ez az egyenlőtlenség a G. pont alatt írtak miatt sohasem teljesülhet. 

Nem kerülheti el azonban a figyelmünket, hogy azok a korlát határok, amelyeket az imént használtunk, olyan szituációt írnak le, amely túlságosan szélsőséges, és a gyakorlatban nem fordulhat elő olyan pénztártag, akire a normafedezet oldaláról a minimum, az egyéni fedezet oldaláról viszont a maximum a jellemző. Amennyiben tekintetbe vesszük már, hogy azok között, akik önkéntesen, 40 évesnél idősebb korukban léptek át a vegyes nyugdíjrendszerbe, lesznek olyanok, akik

 –	a nyugdíjba vonulásukig legalább 38 évnyi  szolg_idő -t  gyűjtenek;
	Indokok:
–	A társadalombiztosítási öregségi nyugdíjnak az 1990-es évekre vonatkozó tényszámai szerint az ilyen nyugdíjaknál jellemző, átlagos szolgálati idő a férfiak esetében 37-38, a nők esetében 32-34 év volt. A férfiaknál 30 évnél kevesebb szolgálati idő csak mintegy 10 %-os arányban fordult elő.
–	A szolgálati idő gyűjtés esélyei az 1990-es években romlottak, de a helyzet az előttünk lévő években, évtizedekben várhatóan javulni fog.
–	A nyugdíjkorhatár 1996-tól megnövekedett (a férfiaknál 2, a nőknél 7 évvel), ami (különösen a nőknél) a munkában töltött, illetve az egyéb, a társadalombiztosítási szolgálati időbe beszámítandó évek számának a növekedése irányában hat.
–	A magánnyugdíj-pénztárba önkéntesen belépett tagok általában a társadalomnak a jobb foglalkoztatási esélyekkel rendelkező szegmenséből származnak, így rájuk az átlagosnál kedvezőbb szolgálati idő értékek a jellemzők.

 –	1988 és a magánnyugdíj-pénztárba való belépésük közötti időben a tb. nyugdíj alapba beszámító jövedelmük nem volt számottevően alacsonyabb relatív színvonalú, mint a pénztári tagdíj alapjuk a tagsági viszonyuk alatt (tbnydalap_/_tdíjalap_ ráta   0,95);

 –	olyan pénztárak tagjai voltak, amelyeknél a fedezeti tartalék befektetésének az évi nettó hozamaként a bruttó bérindexnél 1,5 %-kal jobb eredményt nem értek el (rel_nethozam_évi_átlag_max    1,015 );

továbbá

 –	jért_tényező(62)-re (az E. pont alatt már említett indokok alapján) az óvatosság követelményét szem előtt tartva, az 1996-1998 időszak adatai alapján számítottnál legalább 10 %-kal magasabb értéket indokolt becsülni;

akkor már a következő egyenlőtlenséget kell megvizsgálni:
	x = pt_lépési_kor   nydkor – 1 rel_tdíj_alap(x)
NORM_FED  –  PT_TŐKE     o_br_ker(nydkor – 1)       
	        (nydkor  – pt_lépési_kor)

 {{0,25 15,3 1,1 38 0,0122 0,95 / 1,1}  –  { 0,08 0,95 rel_tőkenöv_max[1,015; (nydkor – pt_lépési_kor)] }} > 0

Ha a fentebb említett személyek pénztári tagsági viszonya a nyugdíjba vonulásukkor nem hosszabb, mint 19 év, akkor biztos, hogy az egyenlőtlenség fennáll (a normafedezeti kiegészítésre szükség van).

Más jellemzőkkel rendelkező pénztártagok esetében a normafedezeti kiegészítés becslése hasonlóképpen számítható.

Budapest, 2000. április 26.