Simonovits András:

EGYÜTTÉLŐ KOROSZTÁLYOK MODELLJEI
HABILITÁCIÓS TÉZISEK

Budapesti Műszaki és Gazdasági Egyetem
1999. november

BEVEZETÉS
Samuelson (1958) úttörő cikkének megjelenése óta cikkek százai vizsgáltak az együttélő nemzedékek modellcsaládját, ahol különböző időben született emberek hatnak egymásra. Néhány szerzőtől eltekintve a kutatók két nemzedékre (pontosabban: két korosztályra) szűkítették le a makrovizsgálatokat. Kezdetben ez a megszorítás talán elkerülhetetlen volt, mára azonban a fejlődés rejtett fékjévé vált. Néhány más kutatatóval együtt (például Modigliani és Brumberg (1954), Tobin (1967), Gale (1973), Auerbach és Kotlikoff (1987), Augusztinovics (1989), (1992)), az együttélő korosztályok modellcsaládját kívántam továbbfejleszteni, ahol az együttélő korosztályok száma kettőtől akár százig terjedhet. 
A későbbi összehasonlítás kedvéért az együttélő nemzedékek elméletéből négy fontos eredményt emelek ki: 1. Egy kis nyitott gazdaságban a felosztó-kiróvó nyugdíjrendszer akkor és csak akkor jobb (jóléti értelemben), mint a tőkefedezeti rendszer, ha a gazdaság növekedési üteme nagyobb, mint a reálkamatláb (Samuelson 1958, Blanchard és Fischer, 1989). A további megállapítások zárt gazdaságra, racionális várakozásokra és tőkefedezeti rendszerre vonatkoznak (Gale, 1973, Grandmont, 1985). 2. Ha mindkét nemzedék jövedelme pozitív, akkor két állandósult állapot létezik: az aranykori és az autark. (Az előbbiben a gazdaság növekedési üteme egyenlő a reálkamatlábbal, az utóbbiban nincs csere a nemzedékek között.) 3. A két állandósult állapot közül  a kisebbik kamatlábú állapot lokálisan stabil, a másik instabil. (Ez a tétel csak akkor igaz, ha további feltevést mondunk ki a hasznosságfüggvényre: a helyettesítés időbeli rugalmassága a) nagyobb, mint 1; vagy b) állandó.) 4. Bizonyos hasznosságfüggvények és paraméterértékek esetén ciklusok és kaotikus pályák is léteznek (Gale (1973, I. rész), Benhabib és Day (1982), valamint  Grandmont (1985)).
Mi a baj ezzel a modellcsaláddal? Talán nem igaz Balasko et al. (1980) fontos eredménye, hogy az együttélő korosztályok minden modellje a korosztályok megfelelő átértelmezésével visszavezethető egy együttélő nemzedékek modelljére? De igaz, csak a makromodell helyére egy sokszektoros gazdaság lép, újabb bonyodalmakkal. Sajnálatos módon a kutatók java része hibásan azt gondolja, hogy elegendő az együttélő nemzedékek makromodelljét vizsgálni. Pedig az együttélő nemzedékek modelljének egyik legnevesebb alkalmazója, Grandmont (1985, 1039. o.) maga is érdekes feladatnak tartotta ... "az elemzés kiterjesztését egy olyan általánosabb keretre, ahol például a cserepartnerek tetszőleges (véges vagy végtelen) számú időszakig élnek." Grandmont meglepő eredményeire reagálva, Sims (1986) kritikusan megjegyezte, hogy a valóságban aligha léteznek ilyen hosszú, esetleg többszáz-éves ciklusok. Továbblépve, annak a sejtésének adott hangot, hogy az együttélő korosztályok realista modelljében nem lép fel jelentős instabilitás. Látni fogjuk, hogy Simnek csak részben volt igaza.
Jelenleg még többségben vannak azok a kutatók, akik nincsenek tisztában az együttélő nemzedékek és az együttélő korosztályok modellcsaládja közti különbséggel, vagy ha mégis, akkor érdektelennek tartják a különbséget. Ebben az előadásban azt szeretném megmutatni, hogy tévednek: a két modellcsalád között hatalmas különbség van, és semmi okunk sincs arra, hogy lecövekeljünk a legegyszerűbb eset vizsgálatánál.
A következőkben megmutatom, hogyan módosul a fenti négy tétel, ha levetjük az együttélő nemzedékek kényszerzubbonyát. A modellcsalád további feltevéseinek szerepét egy másik verbális tanulmányomban (Simonovits, 1998a, 2000a) vizsgálom.
1. NYITOTT GAZDASÁG ÁLLANDÓSULT ÁLLAPOTAI
Az életciklus-modell
Abból a közismert tényből indulunk ki, hogy az emberi életpálya három szakaszra osztható: 1. Az első szakaszban, a gyermekkorban az emberek felkészülnek a felnőtt életkorra. 2. A második szakaszban, az aktív vagy dolgozói életkorban az emberek részt vesznek a társadalmi termelésben. 3. A harmadik szakaszban, a nyugdíjas korban az emberek visszavonulnak a társadalmi termeléstől.  
Az egyszerűség kedvéért eltekintünk attól az alapvető ténytől, hogy az emberek -- bár egyre kevésbé, de még mindig -- családokban, háztartásokban élnek. Feltesszük, hogy az éppen megszületett csecsemő azonnal hitelszámlát nyit, és későbbi keresete terhére hitelből fizeti ki a születésétől kezdve felmerülő költségeit. Miután élete teljében visszafizeti ifjúkori tartozásait, elkezd öregkorára takarékoskodni. Megöregedvén nyugdíjba megy, megtakarításaiból él, és halála napjára pontosan feléli vagyonát. Ez vagy azt jelenti, hogy mindenki előre ismeri teljes életpályáját; vagy azt, hogy teljes körű és többletköltség-mentes életbiztosítás köthető.
Kellően felbátorodva az eddigieken, még azt is feltesszük, hogy a kamatláb értéke független attól, hogy az egyén hitelez a banknak vagy hitelt kér a banktól. Eddigi feltevéseink matematikailag azt jelentik, hogy a kamatlábbal diszkontált életpálya-kereset jelenértéke azonos az életpálya-fogyasztás jelenértékével: ez az egyéni költségvetési korlát. 
Nyitott, kis gazdaságban minden időszakban kívülről adott (egzogén) a kamatláb. A Solow-modell szellemében ugyanezt tesszük föl a gazdaság növekedési üteméről. Az egyszerűség kedvéért ebben a pontban kikötjük, hogy mind a kamatláb, mind a növekedési ütem időben állandó. Feltesszük még, hogy a foglalkoztatás terjedelme független a gazdasági rendszertől.
A neoklasszikus elmélet hagyományait követve a fogyasztási pályát egyéni hasznosságmaximalizálással magyarázzuk. Mivel sokat kell számolnunk, általában feltesszük, hogy az életpálya fogyasztói hasznossága azonos az egyes időszakok fogyasztási hasznosságának leszámítolt összegével, és minden időszak fogyasztási hasznossága az időszaki fogyasztás állandó rugalmasságú függvénye: állandó helyettesítési rugalmasság: CES függvény. (Gyakori az állandó relatív kockázati együtthatós jelző is, illetve angol rövidítése: CRRA.)
Nyugdíjrendszerek összehasonlítása 
Két alapvető nyugdíjrendszer ismert: a tőkefedezeti és a felosztó-kiróvó (angol rövidítésük: CR és PAYG) rendszert. Az első rendszerben mindenki saját magának takarékoskodik. A második rendszerben viszont társadalmi szinten nincs se hitel, se megtakarítás: minden időszakban a középső nemzedék által termelt javakat valamilyen elv szerint elosztják a három nemzedék között.
Modellcsaládunk elvileg alkalmas arra, hogy segítségével rangsorolják a két rendszert. A fő tétel (az ún. Aaron-elv) Aaron (1966)-tól származik: A felosztó-kiróvó rendszer akkor és csak akkor jobb, (ti. akkor biztosít minden korosztálynak nagyobb jólétet, azaz nagyobb életpálya-hasznosságot) mint a tőkefedezeti rendszer, ha a gazdaság növekedési üteme nagyobb, mint a reálkamatláb. Ezt az egyenlőtlenséget Aaron-feltételnek nevezzük. Szerintem Aaron két különböző fajta felosztó-kiróvó rendszert elemzett, anélkül, hogy észrevette volna. 
(i) Az általában elfogadott értelmezés szerint -- és Aaron verbális bevezetése alátámasztja e felfogást --, Aaron burkoltan föltette, hogy az elhanyagolt családi pótlék mellett a nyugdíjat, valamint az adókat és hozzájárulásokat egyaránt magában foglaló transzfer-rendszer mérete és szerkezete egzogén módon adva van, és a fogyasztók (az elhanyagolt gyermekek mellett a dolgozók és nyugdíjasok) szabadon kölcsönözhetnek a bankoktól. Ezt a rendszert PAYG1-nek nevezzük. Aaron azt találta, hogy a PAYG1 bevezetése pontosan akkor növeli az életpálya (leszámítolt) keresetének jelenértékét a tőkefedezeti rendszerhez képest, ha a róla elnevezett feltétel teljesül. Ebben a felfogásban zavaró, hogy a transzfer-rendszer mérete és arányai egzogén paraméterek, és az Aaron-feltétel teljesülése esetén minél nagyobb a felosztó-kiróvó rendszer mérete (például a nyugdíjak és a bérek hányada), annál nagyobb a javulás. 
(ii) Furcsa módon Aaron matematikai modelljében egy másik felfogás fedezhető fel. Itt Aaron be- és kifizetések helyett keresetekkel és nyugdíjakkal dolgozott. Aaron második gondolatmenetét követve, Simonovits (1994, 1995b, 1996) tanulmányaimban egy másik megközelítést dolgoztam ki: az optimális méretű és szerkezetű PAYG2 rendszert magánmegtakarítások és kölcsönök nélkül határoztam meg. A kiterjesztett PAYG2 rendszeren keresztül transzferekben részesülvén, ekkor a gyerekek és a fiatal dolgozók többet fogyaszthatnak, mint amennyit keresnek. Mindkét kiterjesztett rendszerben (PAYG1-ben és PAYG2-ben) az Aaron-elv elveszti érvényességét.
Néhány megjegyzés kívánkozik az eddigiekhez. 1. A felosztó-kiróvó rendszer bírálói azt állítják, hogy a PAYG éppen azért igazságtalan, mert a gazdag emberek tovább élnek, mint a szegények, tehát összességében több nyugdíjat kapnak, mint amennyi járna nekik. Hasonló "igazságtalanságot" okoz, hogy a nők rövidebb ideig fizetnek tb-hozzájárulást és hosszabb ideig kapnak nyugdíjat.
2. Még ha a felosztó-kiróvó rendszer belső megtérülési rátája kisebb is, mint a tőkefedezetié, kockázata mindenképpen jóval kisebbnek tűnik, mint vetélytársáé. 
3. A tétel alkalmazásánál nem szabad elfelejteni, hogy a valóságban nem nulláról indulunk: van valamilyen nyugdíjrendszerünk (a II. világháború után az összeomlott tőkefedezeti rendszer, most az érett felosztó-kiróvó rendszer), és azon akarunk változtatni.
***
A következőkben kizárólag tőkefedezeti rendszereket vizsgálunk, s emiatt nem is jelezzük, hogy gyermektámogatási és nyugdíjrendszer biztosítja a kiskorúak és a nyugdíjasok fogyasztását. Zárt modellt mérlegelünk, ahol a kamatlábat a nulla összmegtakarítás feltevése határozza meg. Technikai egyszerűsítésként a hosszú távú növekedési ütemet nullának vesszük. (Termelést és tőkefelhalmozást ábrázoló modellek is léteznek: Diamond (1965), Blanchard és Fischer (1989), de ezekkel nem foglalkozunk.) Eltekintünk a technikai részletektől (lásd Molnár és Simonovits, 1996, 1998, Simonovits, 1998b és 2000b). 
2. ZÁRT GAZDASÁG ÁLLANDÓSULT ÁLLAPOTAI
Mielőtt az állandósult állapotokat elemeznénk, leszögezünk egy elemi tényt: ha nincs folyó megtakarítás, akkor az időszakvégi megtakarítási állomány egyenlő az előző időszakvégi állomány és a kamattényező szorzatával, ahol a kamattényező=1+kamatláb.
Az együttélő korosztályok modelljében is kétféle állandósult állapot létezhet: aranyszabály állapot és kiegyensúlyozott állapot; az elsőben a kamatláb nulla, a másodikban az összmegtakarításnak nemcsak a folyama, de az állománya is nulla. (Valóban, egy szám csak akkor lehet azonos sajátmaga és egy másik szám szorzatával, ha vagy ő 0, vagy a szorzó 1.)
A szóban forgó állandósult állapotok létezése egyszerűen igazolható, ha minden időszak keresete pozitív. Elméleti és gyakorlati szempontból azonban egyaránt érdekes az az eset, amikor sem a gyermekeknek, sem a  nyugdíjasoknak nincs eredeti keresetük,  hanem hitelből, illetve megtakarításokból élnek. Ezt az esetet mérlegelte Gale (1973, II. rész és 1974) -- "általános" (nem CES) hasznosságfüggvény mellett. Utóbb Kim (1983) kiderítette, hogy (akárcsak a stabilitási tételnél) Gale bizonyítása itt is burkoltan támaszkodik egy szigorú és irreális feltevésre: a fogyasztó nagyon rugalmasan képes időben helyettesíteni a fogyasztását. Gale egyértelműséget sejtett "általános" rugalmas hasznosságfüggvénynél, és egyértelműséget bizonyított Cobb-Douglas hasznosság-függvénynél (amelynél érdekes módon nem is érvényes Gale egzisztencia-bizonyítása). 
Az általános hasznosságfüggvénytől a kvázi-CES függvények felé haladva Kim (1983) egy másik, relevánsabb egzisztencia-tételt bizonyított, ahol csupán a közepesen gyenge helyettesítési rugalmasságok vannak kizárva. Amint Simonovits (1995a, b) cikkemben igazoltam, ebben a fontos tartományban CES-függvények esetén vagy egyáltalán nem létezik kiegyensúlyozott állandósult állapot, vagy több is létezik. Augusztinovics (1992) viszont arra a Leontief-hasznosság esetére terjesztette ki Kim tételét, ahol egyáltalán nincs időbeli helyettesítés. 
Érdekes, hogy a nyugdíjrendszerek rangsorolása és a zárt gazdaság állandósult állapotának milyensége összefügg egymással. Az aranyszabály állapot felel meg a felosztó-kiróvó rendszernek, a kiegyensúlyozott állapot pedig a tőkefedezeti rendszernek. Zárt rendszerekben Aaron elve most úgy jelenik meg, hogy a kiegyensúlyozott állandósult állapotok nem optimálisak. Ha a kiegyensúlyozott kamatláb negatív, akkor a hozzátartozó állandósult állapot úgy javítható, hogy minden szereplő jól járjon (Pareto-optimalitás).
Inkább matematikai érdekességet, mint közgazdasági megállapítást tartalmaz Aiyagari (1988). A kiegyensúlyozott állandósult állapotok létezését, egyértelműségét és optimalitását abban az életidegen esetben igazolta, amikor az időszakok száma és az élettartam a végtelenhez tart. Az aszimptotikus elemzés csak akkor érdekes, ha a konvergencia gyors, azaz a végtelen eredmény jól közelíti a véges esetet. Már pedig itt nem ez a helyzet.
3. LOKÁLIS STABILITÁS/INSTABILITÁS 
Az állandósult állapotok elemzésénél nem kellett foglalkozni a rendszer állapot-változásaival, az igazi dinamikával. Most rátérünk a dinamikus elemzésre. Ebben a pontban lokálisan vizsgálódunk, s csak a következő pontban térünk ki a globális elemzésre.
Rögtön komoly nehézséggel találjuk szembe magunkat: egyrészt egy adott időszakban született egyén optimális fogyasztási pályának meghatározásához ismerni kellene az életpálya során tapasztalandó kamatlábakat, másrészt az egy időszakra vonatkozó fogyasztási (és megtakarítási) döntéseknek egyensúlyban kell lenniük, és ez határozza meg a kamatlábakat. Kettéosztjuk az elemzést aszerint, hogy a kamatlábra vonatkozó várakozások racionálisak vagy naivak.
Racionális várakozások
Modellcsaládunkban a racionális várakozások feltevése azt jelenti, hogy a kamatlábakra vonatkozó feltevések összhangban vannak az egyensúlyi feltételekkel. Tehát először tetszőleges kamatláb-pályát feltételezve meghatározzuk az egyes egyének és korosztályok feltételes optimális fogyasztási pályáit, majd felírjuk az egyensúlyi feltételeket. Az így adódó implicit differenciaegyenlet-rendszert megoldjuk a kamatlábakra.
Már Samuelson észrevette, hogy esetünkben több ismeretlen van, mint egyenlet, tehát az egyenletrendszert általában nem lehet egyértelműen megoldani. (További bonyodalmat okoz, hogy adott kezdeti feltételek mellett is tipikusan több megoldása van az egyenletünknek.) A racionális várakozások hívei fokozatosan felismerték, hogy modelljeikben felesleges kezdeti feltételek is vannak. Rövidre zárva a meghatározatlanságból fakadó bonyodalmakat, Gale (1973, II. rész) az indulást kitolta az idők kezdetéig. Megkockáztatta azt a sejtést, hogy a bevezetésben említett 3. tétel tetszőleges számú korosztályra érvényes (természetesen racionális várakozások esetén).
Gale követői felismerték, hogy a racionális várakozások bevezetése szükségszerűen vezet határozatlansághoz. Laitner (1981) és (1984) megkülönböztet történelmi és nem történelmi kezdeti értéket, esetünkben a megtakarítási állomány vektorát (vagy a régi kamattényezőket), illetve az új kamattényezőket. Ugyanakkor éppen a racionális várakozásoknál fellépő meghatározatlanságot használja fel az instabilitás kiküszöbölésére. Ha az instabil sajátértékek és a nem történelmi kezdeti értékek száma azonos (numerikus vizsgálatok szerint a szóban forgó feltétel gyakran teljesül), akkor az állandósult állapotok közelében minden történeti kezdeti értékhez választhatunk olyan nem történeti kezdeti értéket, hogy a keletkező pálya stabil legyen. Ugyanakkor ez a megoldás rendkívüli számítási pontosságot feltételez, amely nem várható el egy közönséges szereplőtől, ezért ezt a megoldást nem tartom meggyőzőnek.  
Gale egyszerűsítését megtartva, Molnár és Simonovits (1996) egy olyan, sok-korosztályos OLC modellt vizsgált, ahol gyerekek és nyugdíjasok is voltak, nulla keresettel. Nem-negatív állandósult kamatlábaknál igazoltuk, hogy minden állandósult állapot instabil. Negatív állandósult kamatlábaknál numerikus számolások alapján reális paraméterértékek esetén azt sejtjük, hogy az instabilitás most is érvényes. Ezzel részben megcáfoltuk, részben kétségbe vontuk Gale sejtését (még CES-függvényekre is).
Naiv várakozások
1930-1970 között a naiv (vagy általánosabban az adaptív) várakozások nagyon népszerűek voltak. Az alapelv a következő: a jelen időszakban tapasztalt megfigyeléseket kiterjesztjük a jövőre. Esetünkben arról van szó, hogy a jelen időszak (még meghatározandó) kamatlábáról feltesszük, hogy egész életünkben fennmarad, és ennek alapján számítjuk ki a hátralévő életszakasz optimális fogyasztási pályáját és ezzel együtt az aktuális kamatlábat. Majd a következő időszakban az egyének (kivéve az újszülötteket) újraszámoljuk a feladatot, de ezúttal már eggyel rövidebb életszakaszra.
A racionális várakozások feltevését burkoltan elvetve, Gale (1974) is mérlegelt naiv várakozásokat, anélkül, hogy valamilyen tételt kimondott volna. (Sőt, már Ando és Modigliani (1963) így fogalmazta meg az 1. tételhez tartozó életciklus-elméletet!) Örömünkre az általában tökéletlennek és elvetendőnek tartott modellben a lokális stabilitás számos speciális esetben igazolható, és instabilitást a paramétertartomány szingularitási pontjának csupán egy nagyon kicsiny környezetében találtunk. Ezzel Gale sejtését éppen a naiv várakozásokra bizonyítottuk be, illetve valószínűsítettük.
A naiv várakozások stabilitási fölénye a racionális várakozásokkal szemben nem új az irodalomban. Például Grandmont és Laroque (1990) 1.2. következménye bizonyos feltevések mellett (az emlékezettel rendelkező tanulási szabály fölismeri a 2-ciklusokat) a következő feltételes eredményt mutatta ki: ha a tanulás stabil, akkor a racionális várakozások melletti dinamika instabil. (Mivel a naiv várakozásoknak nincs emlékezetük, és képtelenek felismerni egy 2-ciklust, a szóban forgó tétel nem alkalmazható modellünk keretében.) Szintén a két várakozástípust hasonlítja össze egy általános modellben és specifikálja az együttélő nemzedékek modelljére Simonovits (1999b).
4. CIKLUS ÉS KÁOSZ
Eddig ismertetett dinamikus vizsgálataink lokálisak voltak, azaz feltételezték, hogy az állandósult állapotokhoz megfelelően közelről indul a rendszer. Most rátérünk a globális elemzésre. Az egyszerűség kedvéért visszatérünk a racionális várakozásokhoz.
Ciklikus pályáról beszélünk, ha a pálya bizonyos szabályossággal ismétli önmagát. A természetben és a társadalomban gyakran találkozunk ciklusokkal, és matematikai elemzésük is sok szempontból egyszerűbb, mint az általános, aciklikus pályáké. Határciklusról beszélünk, ha a ciklus közeléből induló pályák előbb-utóbb tartanak hozzá.
A modern dinamikus elmélet egyik nagy vívmánya, hogy képes volt túllépni a hagyományos lokális stabilitási és cikluselemzésen. Egyik fő felismerése, hogy vannak olyan viszonylag egyszerű, korlátos determinisztikus rendszerek is, amelyek viselkedése nagyon bonyolult: kaotikus, előrejelezhetetlen. Ennek viszonylag egyszerű oka van: akármilyen kis eltérés van két kezdeti feltétel között, a közeli pályák inkább előbb, mint utóbb széttartanak. Ilyen  az időjárás, amely mai felfogásunk szerint nemcsak most, de soha sem lesz hosszú távra előrejelezhető. A Bevezetésben már jeleztük, hogy az együttélő nemzedékek elméletében is megjelennek a ciklusok és a káosz. 
Sim elképzelését pontosítandó, közgazdaságilag értelmetlen aszimptotikus modelljében Aiyagari (1989) kizárta a 2-ciklusok létezését. Reichlin (1992) viszont bevezette a szintén kétes értékű örökifjú fogyasztót. Megengedte még, hogy a keresetek nullához tartsanak vagy akár nullára süllyedjenek, és így sikerült 2-ciklusokat találnia. Egyik modell sem volt azonban jól kalibrálva. Ahogyan Aiyagari (1989, 167. o., 4. lbj.) öniróniával megjegyezte: "e példák bármely hasonlatossága a valóságra pusztán a véletlen műve". 
Simonovits (1998b), (1999a) cikkeimben újra elemeztem a kérdést egy realista modellváltozatban, és a Leontief hasznosságfüggvény kivételével kizártam a 2-ciklus létezését. Azt is sikerült igazolnom, hogy Cobb-Douglas hasznosságfüggvény esetén semmilyen ciklus sem létezhet.
5. KÖVETKEZTETÉSEK
Megvitatván az együttélő korosztályok modelljeit, az alábbi következtetések adódnak.
1. Az együttélő korosztályok modelljei nem csak mennyiségileg, hanem minőségileg is különböznek az együttélő nemzedékek modelljeitől. 
2. Az együttélő korosztályok modelljei kézenfekvő eszközök számos makrofeladat elemzésére: nyugdíjrendszerek összehasonlítása, állandósult állapotok létezése, optimalitása és stabilitása.
3. Bár kevésbé, mint az együttélő nemzedékek modelljei, de az együttélő korosztályok modelljei is számos olyan megszorító feltevést használnak, amelyek gyakran akadályozzák gyakorlati alkalmazásukat.
4. Ha alkalmazható modellcsaládot akarunk készíteni, érdemes egy modellcsaláddal próbálkozni: olyan összetett és realista modellek együttesét építsük fel, amelyek építőkockái eléggé egyszerűek ahhoz, hogy önmagukban analitikus eredményeket adjanak, de a teljes modellcsalád elemzése számítógépet követel.

IRODALOM
AARON, H. J. (1966) "The Social Insurance Paradox", Canadian Journal of Economics and Political Science 32 371-374.
AIYAGARI, S. R. (1988) "Nonmonetary Steady States in Stationary Overlapping Generations Models with Long Lived Agents and Discounting: Multiplicity, Optimality, and Consumption Smoothing", Journal of Economic Theory 45 102-127. 
AIYAGARI, S. R. (1989) "Can there be Short-Period Deterministic Cycles when People are Long-Lived?" Quarterly Journal of Economics 104, 163-185.
ANDO, A. és MODIGLIANI, F. (1963) "The 'Life Cyclé Hypothesis of Savings: Aggregate Implications and Tests",  American Economic Review 53 55-84.
AUGUSZTINOVICS, M. (1989) "The Costs of Human Life", Economic Systems Research 1 5-26.
AUGUSZTINOVICS, M. (1992) "Towards a Theory of Stationary Populations", kézirat, Institute of Economics, Budapest (korábbi változat : Working Paper 1991). 
BALASKO, Y., CASS, D. és Shell, K. (1980) "Existence of Competitive Equilibrium in a General Overlapping-Generations Model", Journal of Economic Theory 23 307-322.
BENHABIB, J. és DAY, R. H. (1982) "A Characterization of Erratic Dynamics in the Overlapping Generations Model", Journal of Economic Dynamics and Control 4 37-55.
BLANCHARD, O. J. és FISCHER, S. (1989) Lectures on Macroeconomics, Cambridge, MA, MIT Press.
DIAMOND, P. A. (1965) "National Debt in a Neoclassical Growth Model", American Economic Review 55 1126-1150.
GALE, D. (1973) "Pure Exchange Equilibrium of Dynamic Economic Models", Journal of Economic Theory 6 12-36.
GALE, D. (1974): "The Trade Imbalance Story", Journal of International Economics 4 119-137.  
GRANDMONT, J.-M. (1985) "On Endogenous Business Cycles", Econometrica 45 995-1045.
GRANDMONT, J.-M. és LAROQUE, G. (1990) "Stability, Expectations and Predetermined Variables", Champsour et al. szerk. Essays in Honor of Edmund Malinvaud, Cambridge, MA, MIT Press, VOL. 1. 71-92.
KIM, O. (1983) "Balanced Equilibrium in a Consumption Loans Model", Journal of Economic Theory 29, 339-346. 
KOTLIKOFF, L. és SUMMERS, L. H. (1981) "The Role of Intergenerational Transfers in Aggregate Capital Accumulation", Journal of Political Economy 89 706-739.
LEE, R. (1980) "Age Structure, Intergenerational Transfers and Economic Growth: An Overview", Revue Economique 31 1129-1156.
LAITNER, J. P. (1981) "The Stability of Steady States in Perfect Foresight Models", Econometrica 49 319-333.
LAITNER, J. P. (1984) "Transition Time Paths for Overlapping-Generations Models", Journal of Economic Dynamics and Control 7 111-129.
MODIGLIANI, F. és BRUMBERG, R. (1954) "Utility Analysis and the Consumption Function: An Interpretation of Cross-Section Data", Kurihara, K. K. szerk. Post-Keynesian Economics, New Brunswick, Rutgers University Press, 388-436.
REICHLIN, P. (1992) "Endogenous Cycles with Long-Lived Agents", Journal of Economic Dynamics and Control 16 243-266.
SAMUELSON, P. A. (1958) "An Exact Consumption-Loan Model of Interest with or without the Social Contrivance of Money", Journal of Political Economy 66 467-482.
SIMS, C. A. (1986) "Comments", Sonnenschein, H. F. szerk. Models of Economic Dynamics, New York, Springer, 37-39. 
TOBIN, J. (1967) "Life Cycle Saving and Balanced Growth", Fellner et al. szerk. Ten Economic Studies in the Tradition of Irving Fisher, New York, Wiley, 231-256.
SAJÁT TANULMÁNYOK
MOLNÁR, GY. és SIMONOVITS, A. (1996) "Várakozások, stabilitás és működőképesség az együttélő korosztályok realista modellcsaládjában", Közgazdasági Szemle 43 863-890.
MOLNÁR, GY. és SIMONOVITS, A. (1998) "Expectations, (In)stability and (In)viability in Realistic Overlapping Cohorts Models", Journal of Economic Dynamics and Control 23 303-332.   
SIMONOVITS, A. (1994a) "Korosztályok közötti különbségek és optimális nyugdíjrendszerek", Madarász A. és Szabó J. szerk. Miért hagytuk, hogy így legyen? Tanulmányok Bródy Andrásnak, Budapest, KJK 66-85.
SIMONOVITS, A. (1994b) "Együttélő nemzedékek modellcsaládja", Közgazdasági Szemle 41, 411—427. 
SIMONOVITS, A. (1995a) "On the Number of Balanced Steady States in a Realistic Overlapping Cohorts Model",  Acta Oeconomica 47 51-67. 
SIMONOVITS, A. (1995b) "Együttélő korosztályok modellcsaládja", Közgazdasági Szemle 42, 358—386. 
SIMONOVITS, A. (1996) "Pensions and Family Allowances: A Reconsideration of the Social Insurance Paradox", Acta Oeconomica 47 337-347.
SIMONOVITS, A. (1998a) "Példabeszéd és realizmus az együttélő korosztályok realista modellcsaládjában", Gács J. és Köllő J. szerk., A "túlzott központosítástól" az átmenet stratégiájáig, Tanulmányok Kornai Jánosnak,  Bp. KJK. 37-48. 
SIMONOVITS, A. (1998b) "Matematikai módszerek a dinamikus közgazdaságtanban", Budapest, KJK.
SIMONOVITS, A. (1999a) "Are there Endogenous Cycles in a Realistic Overlapping Cohorts Model?", Structural Change and Economic Dynamics 10 (1999) 261-275.
SIMONOVITS, A. (1999b)  "A racionális és a naiv várakozások  stabilitásának összehasonlítása", Közgazdasági Szemle 46 689-700.
SIMONOVITS, A. (2000a) "Parables and Realism in Overlapping Cohorts Models", Simonovits és Maskin, szerk., Planning, Shortage and Transformation, Festschift to J. Kornai, Cambridge, MA, MIT Press, 
SIMONOVITS, A. (2000b) Mathematical Methods in Economic Dynamics, Oxford, Macmillan.